29.数据结构之图

1. 为什么要有图

1. 前面我们学了线性表和树
2. 线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
3. 树也只能有一个直接前驱也就是父节点
4. 当我们需要 表示多对多的关系时， 这里我们就用到了 图

2. 基本介绍

图是一种 数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为顶点。

2.1 图的基本概念

1. 顶点(vertex)

2. 边(edge)

3. 路径

4. 无向图(下图)

   

5. 有向图

   

6. 带权图

   

3. 图的表示方式

图的表示方式有两种：

• 二维数组表示（邻接矩阵）
• 链表表示（邻接表）。

3.1 邻接矩阵

邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于 n 个顶点的图而言，矩阵是的 row 和 col 表示的是 1….n个点。

3.2 邻接表

1. 邻接矩阵需要为每个顶点都分配 n 个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失
2. 邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成。

4. 图的快速入门

属性：

• private ArrayList<String> vertexList; 储存顶点的集合
• private int[][] edges; 储存图对应的 邻结矩阵
• private int numOfEdges; 表示边的数目

方法：

• public void insertVertex(String vertex); 插入节点的方法
• public void insertEdge(int v1,int v2,int weight); 插入边的方法
• public int getNumOfVertex(); 返回节点的个数
• public int getNumOfEdges(); 返回边的条数
• public String getValueByIndex(int i); 返回节点 i 下标对应的数据 0–>A
• public int getWeight(int v1,int v2); 返回v1和v2的权值
• public void showGraph(); 显示图对应的矩阵

public class Graph {

	//储存定点的集合
	private ArrayList<String> vertexList;
	
	//储存图对应的 邻结矩阵
	private int[][] edges;
	
	//表示边的数目
	private int numOfEdges;
	
	
	/*
	 * 构造器
	 */
	public Graph(int n){
		//初始化矩阵和ArrayList
		edges = new int[n][n];
		vertexList = new ArrayList<String>(n);
		numOfEdges = 0;
	}
	
	/**
	 * 插入节点
	 * @param vertex
	 */
	public void insertVertex(String vertex) {
		vertexList.add(vertex);
	}
	
	/**
	 *   添加边
	 * @param v1
	 * @param v2
	 * @param weight
	 */
	public void insertEdge(int v1,int v2,int weight) {
		edges[v1][v2] = weight;
		edges[v2][v1] = weight;
		numOfEdges++;
	}
	
	/**
	 * 图中常用的方法
	 */
	
	/**
	 * @return 返回节点的个数
	 */
	public int getNumOfVertex() {
		return vertexList.size();
	}
	
	/**
	 * @param args 返回边的条数
	 */
	public int getNumOfEdges() {
		return numOfEdges;
	}
	
	/**
	 * @param i   节点的下标i
	 * @return    返回节点i下标对应的数据 0-->A
	 */
	public String getValueByIndex(int i) {
		return vertexList.get(i);
	}
	
	/**
	 * @param v1
	 * @param v2
	 * @return 返回v1和v2的权值
	 */
	public int getWeight(int v1,int v2) {
		return edges[v1][v2];
	}
	
	/**
	 * 显示图对应的矩阵
	 */
	public void showGraph() {
		for(int[] link: edges) {
			System.out.println(Arrays.toString(link));
		}
	}
	
	
	
	public static void main(String[] args) {
		//测试一把图是否创建OK
		//定点的个数
		int n = 5;
		
		String[] vertexs = {"A","B","C","D","E"};
		
		//创建图对象
		Graph graph = new Graph(n);
		
		//循环的添加顶点
		for(String vertex: vertexs) {
			graph.insertVertex(vertex);
		}
		
		//添加边
		//A-BA-C B-C B-D B-E
		graph.insertEdge(0, 1, 1); //A-B
		graph.insertEdge(0, 2, 1); //
		graph.insertEdge(1, 2, 1); //
		graph.insertEdge(1, 3, 1); //
		graph.insertEdge(1, 4, 1); //
		
      //遍历邻接矩阵
		graph.showGraph();
		
	
	}

}

5. 图的遍历☆☆

所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略:

1. 深度优先遍历
2. 广度优先遍历

5.1 深度优先遍历算法

图的深度优先搜索(Depth First Search)

• 深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
• 我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
• 显然，深度优先搜索是一个递归的过程

深度优先遍历算法步骤

1. 访问初始结点 v，并标记结点 v 为已访问。
2. 查找结点 v 的第一个邻接结点 w。
3. 若 w 存在，则继续执行 4，如果 w 不存在，则回到第 1 步，将从 v 的下一个结点继续。
4. 若 w 未被访问，对 w 进行深度优先遍历递归（即把 w 当做另一个 v，然后进行步骤 123）。
5. 查找结点 v 的 w 邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤 3。
6. 

代码实现

• public int getFirstNeighbor(int index); 如果存在就返回相应的下标，否则返回-1
• public int getNextNeighbor(int v1,int v2); 根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
• private void dfs(boolean[] isVisited,int i); 深度优先遍历算法

/**
 * vertexList 是储存顶点的集合
 * @param index 
 * @return 如果存在就返回相应的下标，否则返回-1
 */
public int getFirstNeighbor(int index) {
	for (int i = 0; i < vertexList.size(); i++) {
		// edges[][] 邻接表
		if(edges[index][i]>0) {
			return i;
		}
	}
	return -1;
}

/**
 * @param v1
 * @param v2
 * @return 根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
 */
public int getNextNeighbor(int v1,int v2) {

	for (int i = v2+1; i < vertexList.size(); i++) {
		if(edges[v1][i]>0) {
			return i;
		}
	}
	return -1;
}

/**
 * 深度遍历算法
 * @param isVisited
 * @param i
 */
private void dfs(boolean[] isVisited,int i) {
	
	//首先我们访问该节点输出
	System.out.print(getValueByIndex(i)+"-->");
	
	//将节点设置为已经访问
	isVisited[i] = true;
	
	//查找结点 i 的第一个邻接结点 w
	int w = getFirstNeighbor(i);
	
	//说明有
	while(w != -1) {
		
		//如果w结点没有访问过
		if(!isVisited[w]) {
			dfs(isVisited, w);
		}
		
		//如果w节点被访问过
		w = getNextNeighbor(i, w);
		
	}
	
}

/**
 * 对dfs进行一个重载，遍历我们所有的节点，并进行dfs
 */
public void dfs() {
	//初始化isVisited数组
	isVisited = new boolean[vertexList.size()];
	
	//遍历所有的节结点，进行dfs回溯
	for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
		//如果没有被访问过
		if(!isVisited[i]) {
			dfs(isVisited,i);
		}
	}
}

5.2 广度优先遍历算法

图的广度优先搜索(Broad First Search)

类似于一个 分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点

广度优先遍历算法步骤

1. 访问初始结点 v 并标记结点 v 为已访问。
2. 结点 v 入队列
3. 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
4. 出队列，取得队头结点 u。
5. 查找结点 u 的第一个邻接结点 w。
6. 若结点 u 的邻接结点 w 不存在，则转到步骤 3；否则循环执行以下三个步骤：
   1. 若结点 w 尚未被访问，则访问结点 w 并标记为已访问。
   2. 结点 w 入队列
   3. 查找结点 u 的继 w 邻接结点后的下一个邻接结点 w，转到步骤 6。
7. 

代码实现

/**
   *     对一个节点进行广度优先遍历的方法
 * @param isVisited
 * @param i
 */
public void bfs(boolean[] isVisited,int i) {
	int u;//表示队列的头结点对应的下标
	int w;//邻接节点w
	
	//队列，记录节点的访问顺序
	LinkedList queues = new LinkedList();
	
	//访问节点，输出节点信息
	System.out.print(getValueByIndex(i)+"-->");
	
	//标记为已访问
	isVisited[i] = true;
	
	//将节点加入到队列
	queues.addLast(i);
	
	
	//如果queue不为空
	while(!queues.isEmpty()) {
		//取出队列的头结点下标
		u = (Integer)queues.removeFirst();
		
		//得到第一个邻接结点的下标w
		w = getFirstNeighbor(u);
		
		//找到
		while(w != -1) {
			//如果没有被访问过
			if(!isVisited[w]) {
				System.out.print(getValueByIndex(w)+"-->");
				//标记已经访问
				isVisited[w] = true;
				
				//入队
				queues.addLast(w);
			}
			
			//以 u 为前驱点，找 w 后面的下一个邻接结点
			w = getNextNeighbor(u, w);
		}
	}

	
	
}

//遍历所有的节点，都进行广度优先搜索
public void bfs() {
	isVisited = new boolean[vertexList.size()];
	for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
		if(!isVisited[i]) {
			bfs(isVisited,i);
		}
	}
}

5.3 深度优先 VS 广度优先

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